David Bösch föddes i Lübeck och studerade teater- och filmregi i Burghausen och vid Zürich School of Music and Drama samt var en del av projektet Unga regissörer vid Salzburgfestivalen. Han har arbetat mycket inom teatern, och bl.a. regisserat på Schauspiel Essen, Thalia Theater Hamburg, Schauspielhaus Bochum, Zürich Schauspielhaus, Deutsches Theater Berlin och Bayerisches Staatsschauspiel. Han var också husregissör på Schauspiel Essen och Schauspielhaus Bochum.
2009 debuterade hans som operaregissör med Vivaldis Orlando furioso på Oper Frankfurt följt av Kärleksdrycken på Bayerische Staatsoper. Därefter följde Mozarts Mitridate, re di Ponto, Orfeo på Bayerische Staatsoper samt Janáčeks Den listiga lilla räven i Klagenfurt. I Frankfurt har han regisserat Humperdincks Königskinder och på Lyon Opera Festival Schrekers Die Gezeichten samt Così fan tutte på Grand-Théâtre de Genève. Vidare har han regisserat Idomeneo i Basel, Simon Boccanegra på Opéra de Lyon och Elektra i Vlaanderen.
2006 vann David Bösch Salzburgfestivalens pris till unga regissörer för uppsättningen Mycket väsen för ingenting på Thalia Theatre i Hamburg. Andra uppsättningar att nämna är Schillers Kabale und Liebe på Schauspielhaus Zürich och Goethes Faust på Myeongdong-teatern i Seoul, på inbjudan av Goethe-institutet. Han har också regisserat flera verk för Burgtheater Wien, såsom Romeo och Julia och Ghost.